Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Часть 1. Введение в теорию оценивания

Излагаются общие принципы и подходы, используемые при построении алгоритмов оценивания как в линейных, так и в нелинейных задачах. Значительное внимание уделяется обоснованию возможности синтеза наиболее распространенных стохастических алгоритмов оценивания на основе детерминированного подхода, не требующего привлечения понятий теории вероятностей. Анализируется взаимосвязь алгоритмов, получаемых в рамках рассматриваемых подходов при различном объеме априорной информации. Методы и алгоритмы, полученные для постоянного вектора, обобщаются применительно к оцениванию случайных последовательностей, наиболее важными из которых являются алгоритмы калмановского типа.
Предлагаемый материал поясняется на примерах и задачах методического характера, а также связанных с обработкой навигационной информации, в частности, применительно к задаче оценивания коэффициентов полинома, определения сдвига между реализациями, определения координат по точечным ориентирам и спутниковым данным, коррекции показаний навигационной системы с использованием внешних данных и комплексной обработки избыточных измерений.
Приводятся необходимые сведения из теории вероятностей и теории матричных исчислений, а также описание используемых разделов Matlab.
Материал книги четко структурирован, что существенно облегчает его изучение и возможность использования для формирования курсов лекций по отдельным разделам для слушателей с различным уровнем подготовки.
При освоении материала книги весьма полезным дополнением послужит курс «Методы обработки навигационной измерительной информации», подготовленный автором совместно с молодыми коллегами и учениками в 2017 г. и выложенный на платформе «Открытое образование» (openedu.ru).
Книга адресована студентам старших курсов и аспирантам, специализирующимся в рассматриваемой области, а также инженерам и научным работникам, чьи интересы связаны с проблемами построения эффективных алгоритмов оценивания не только применительно к задачам обработки навигационной информации, но и в смежных областях, связанных с задачами обработки гидроакустической информации и траекторного слежения.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Условные сокращения
Глава 1. Элементы теории вероятностей
1.1. Случайные величины и методы их описания
1.1.1. Определение случайной величины и ее описание
1.1.2. Статистические характеристики случайных величин
1.1.3. Гауссовские случайные величины и их характеристики
1.1.4. Типы случайных величин
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
1.2. Случайные векторы и методы их описания
1.2.1. Определение случайного вектора и его описание
1.2.2. Статистические характеристики случайных векторов
1.2.3. Гауссовские случайные векторы и их характеристики
1.2.4. Среднеквадратический эллипс ошибок, круговая вероятная ошибка
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
1.3. Преобразование случайных величин и векторов
1.3.1. Функции случайных величин
1.3.2. Функции случайных векторов
1.3.3. Линейные преобразования случайных векторов
1.3.4. Определение статистических свойств длины проекции случайного двухмерного вектора на заданное направление
1.3.5. Ортогонализация случайных величин. Связь матрицы ковариаций и среднеквадратического эллипса
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
1.4. Условная плотность распределения вероятностей
1.4.1. Формулы Байеса. Условные математическое ожидание и матрица ковариаций
1.4.2. Правила нахождения параметров условной гауссовской плотности
1.4.3. Примеры нахождения параметров условной гауссовской плотности
1.4.4. Задача регрессии
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
1.5. Моделирование случайных величин и векторов и вычисление их выборочных характеристик
1.5.1. Псевдослучайные последовательности, датчики случайных чисел
1.5.2. Метод Монте-Карло
1.5.3. Выборочные статистические характеристики
1.5.4. Гистограмма
1.5.5. Моделирование случайных величин в Matlab
Контрольные вопросы
1.6. Задания для моделирования с использованием Matlab
Заключение к главе 1
Глава 2. Основы теории оценивания
2.1. Примеры и постановки задач оценивания постоянных параметров при обработке навигационной информации
2.1.1. Оценивание коэффициентов полинома
2.1.2. Задача начальной выставки инерциальной навигационной системы. Простейший случай
2.1.3. Постановка линейной задачи оценивания
2.1.4. Определение относительного сдвига реализаций
2.1.5. Определение координат по измерениям дальностей до точечных ориентиров
2.1.6. Определение координат и скорости по спутниковым данным
2.1.7. Постановка нелинейной задачи оценивания и ее линеаризация
2.1.8. Задача комплексной обработки избыточных измерений
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
2.2. Решение задач оценивания на основе детерминированного подхода. Метод наименьших квадратов
2.2.1. Основные положения и постановка задачи в методе наименьших квадратов
2.2.2. Общее решение задачи синтеза алгоритмов на основе метода наименьших квадратов в линейном случае
2.2.3. Анализ точности в методе наименьших квадратов в линейном случае
2.2.4. Взаимосвязь и сопоставление различных алгоритмов метода наименьших квадратов в линейном случае
2.2.5. Решение нелинейных задач оценивания. Линеаризованные и итерационные алгоритмы
2.2.6. Особенности существенно нелинейных задач оценивания
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
2.3. Небайесовские алгоритмы оценивания
2.3.1. Основные положения и постановка задачи
2.3.2. Метод максимума правдоподобия
2.3.3. Общее решение линейной гауссовской задачи. Взаимосвязь с алгоритмами метода наименьших квадратов
2.3.4. Решение нелинейной гауссовской задачи. Взаимосвязь с алгоритмами метода наименьших квадратов
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
2.4. Байесовский подход. Линейные оптимальные оценки
2.4.1. Постановка задачи и ее общее решение
2.4.2. Свойства линейных оптимальных оценок
2.4.3. Решение линейной задачи. Взаимосвязь с алгоритмами метода наименьших квадратов
2.4.4. Решение нелинейной задачи
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
2.5. Байесовский подход. Оптимальные оценки
2.5.1. Постановка задачи и ее общее решение
2.5.2. Свойства оптимальных оценок
2.5.3. Решение линейной гауссовской задачи. Взаимосвязь с алгоритмами метода наименьших квадратов и максимума правдоподобия
2.5.4. Методы синтеза субоптимальных алгоритмов калмановского типа для решения нелинейных задач
2.5.5. Методы синтеза субоптимальных алгоритмов для решения существенно нелинейных задач
2.5.6. Анализ эффективности субоптимальных алгоритмов
2.5.7. Приближенные методы анализа потенциальной точности при решении нелинейных задач
2.5.8. Повышение точности оценивания при использовании нелинейных алгоритмов
2.5.9. Сопоставление байесовского и небайесовского подходов
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
2.6. Реализация алгоритмов комплексной обработки избыточных измерений
2.6.1. Инвариантная схема обработки
2.6.2. Неинвариантная схема обработки
2.6.3. Централизованная и децентрализованная схемы обработки
2.6.4. Рекуррентная схема обработки
2.6.5. Разностная схема обработки
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
2.7. Задания для моделирования с использованием Matlab
Заключение к главе 2
Глава 3. Основы теории фильтрации случайных последовательностей
3.1. Случайные последовательности
3.1.1. Определение случайной последовательности и ее описание
3.1.2. Стационарные случайные последовательности. Дискретный белый шум
3.1.3. Марковские последовательности
3.1.4. Формирующий фильтр
3.1.5. Динамика изменения матрицы ковариаций марковской последовательности
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
3.2. Оптимальные линейные алгоритмы фильтрации случайных последовательностей
3.2.1. Постановка и решение задачи нерекуррентного оптимального линейного оценивания случайных последовательностей
3.2.2. Постановка задачи рекуррентной оптимальной линейной фильтрации случайных последовательностей
3.2.3. Фильтр Калмана для случайных последовательнстей
3.2.4. Уравнения ошибок фильтра Калмана. Инновационная последовательность
3.2.5. Динамика изменения матрицы ковариаций и установившийся режим в задаче фильтрации
3.2.6. Наблюдаемость в задачах оценивания случайных последовательностей
3.2.7. Модификации дискретного фильтра Калмана
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
3.3. Рекуррентные оптимальные байесовские алгоритмы фильтрации случайных последовательностей
3.3.1. Постановка и общее решение задачи рекуррентной оптимальной фильтрации случайных последовательностей
3.3.2. Рекуррентное соотношение для апостериорной плотности в нелинейной задаче фильтрации
3.3.3. Вывод соотношений для фильтра Калмана, свойства оптимальных оценок
3.3.4. Методы синтеза рекуррентных су б оптимальных алгоритмов решения нелинейных задач фильтрации
3.3.5. Анализ эффективности субоптимальных алгоритмов решения нелинейных задач фильтрации случайных последовательностей
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
3.4. Задача сглаживания и алгоритм ее решения
3.4.1. Типы задач сглаживания
3.4.2. Решения задачи сглаживания на закрепленном интервале
3.4.3. Соотношение задач фильтрации и сглаживания
3.4.4. Решение задач фильтрации и сглаживания на основе детерминированного подхода с использованием метода наименьших квадратов
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
3.5. Задачи фильтрации и сглаживания случайных последовательностей при комплексной обработке навигационных измерений
3.5.1. Задачи фильтрации при комплексной обработке показаний систем, непосредственно измеряющих искомые параметры
3.5.2. Задачи фильтрации при коррекции показаний навигационной системы. Линеаризованный случай
3.5.3. Задачи фильтрации при коррекции показаний навигационной системы. Нелинейный случай
3.5.4. Задачи фильтрации при комплексной обработке показаний инерциальных и спутниковых систем
3.5.5. Задачи фильтрации и сглаживания случайных последовательностей при комплексной обработке по-казаний гравиметра, данных о высоте и вертикальной скорости
Задачи к разделу
Контрольные вопросы
3.6. Задания для моделирования с использованием Matlab
Заключение к главе 3
Приложения
П1. Матричные операции и их реализация в Matlab
П1.1 Основные матричные операции
П1.2. Матричные операции в Matlab
Задачи к приложению П1
Контрольные вопросы
П2. Построение графиков в Matlab
П2.1 Элементарная графика Matlab
П2.2. Построение двухмерных графиков Matlab
Заключение
Литература
Послесловие
Предметный указатель
Английские термины